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Matrizen und ihre Anwendungen 2


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Januar 1986

Beschreibung

Beschreibung

Der Teil 2 dieses Standardwerkes behandelt - aufbauend auf den Grundlagen des ersten Bandes - die numerischen Methoden und deren Anwendung in den Ingenieurwissenschaften . Eine Fülle von Algorithmen und Einschließungssätzen werden in Form von Programmieranleitungen vorgestellt und an mehr als hundert Beispielen mit Matrizen der Ordnung n = 2 bis n = 200.000 zahlenmäßig getestet. Viele Algorithmen werden hier erstmal beschrieben wie z. B. zur Behandlung folgender Probleme: Lineare Gleichungssysteme: Rapido/Rapidissimo, Lineare Eigenwertprobleme, Selektion: Ritz-Iteration/Bonaventura Lineare Eigenwertprobleme, Globalalgorithmus: Securitas, Velocitas Einschließung von Eigenwerten bei Matrizenpaaren: Determinantensatz Eigenwerte von Plxnommatrizen, speziell für gedämpfte Schwingungen: ECP-Algorithmus Nichtlineare, auch transzendente Eigenwertprobleme: S-T-Algorithmus. An zahlreichen Aufgaben aus Statik, Elastomechanik und Schwingungstechnik werden diese neuen Algorithmen erprobt: es wird gezeigt, dass sie den herkömmlichen Algorithmen in jeder Hinsicht überlegen sind. Das Buch stellt damit - beide Teile zusammengenommen - eines der umfassendsten Werke auf dem Gebiet der Numerischen Methoden für lineare Algebra dar. Es ist nicht nur als vorlesungsbegleitendes Lehrbuch gedacht, sondern darüber hinaus zur Weiterbildung von berechnenden Ingenieure, Physikern, Angewandten Mathematikern der Praxis ebenso wie für Informatiker zur Herstellung von Software auf dem Sektor Matrizenkalkül geeignet.

Inhaltsverzeichnis

VII. Kapitel. Grundzüge der Matrizennumerik.- § 24. Grundbegriffe und einfache Rechenregeln.- . 24.1. Reine Mathematik, Numerische Mathematik und Angewandte Mathematik. Einige Vorbemerkungen.- . 24.2. Die Länge einer Operationskette. Vorwärts- und Rückwärtsrechnen.- 24.3. Verfahren mit Vorgabeverlust.- 24.4. Matrizen mit ausgeprägtem Profil.- . 24.5. Die fünf Lesearten eines Matrizenproduktes.- 24.6. Die Matrizenmultiplikation von Winograd.- 24.7. Die geometrische Reihe.- 24.8. Blockspektralmatrix und Blockmodalmatrix.- 24.9. Der Sylvester-Test für herrnitesche Paare.- 24.10. Die additive Zerlegung einer hermiteschen Matrix.- 24.11. Taylor-Entwicklung einer Parametermatrix. Ableitung der charakteristischen Gleichung.- . 24.12. Konstruktion von Matrizen mit vorgegebenen Eigenschaften. Testmatrizen.- 24.13. Skalierung einer Zahlenfolge. Die ?-Jordan-Matrix.- . 24.14. Fokussierung.- . 24.15. Rechenaufwand für die gebräuchlichsten Matrizenoperationen.- § 25. Norm, Kondition, Korrektur und Defekt.- . 25.1. Die Norm eines Vektors.- . 25.2. Die Norm einer Matrix.- . 25.3. Norm und Eigenwertabschätzung.- 25.4. Das normierte Defektquadrat (Norm III).- 25.5. Die Kondition einer Matrix. Skalierung. Sensibilität.- . 25.6. Defekt und Korrektur.- § 26. Kondensation und Ritzsches Verfahren.- . 26.1. Die Matrizenhauptgleichung und der Alternativsatz. Resonanz und Scheinresonanz.- . 26.2. Kondensation als Teil für das Ganze.- . 26.3. Hermitesche Paare. Der Trennungssatz.- 26.4. Hermitesche Kondensation.- . 26.5. Lokaler Zerfall einer Parametermatrix. Bereinigung. Die Zentralgleichung.- 26.6. Zentraltransformation und Minimumvektor. Splitten eines Vektors.- 26.7. Die Optimaltransformation.- . 26.8. Kondensation einer quadratischen Form.- VIII. Kapitel. Theorie und Praxis der Transformationen.- § 27. Eine allgemeine Transformationstheorie.- . 27.1. Überblick. Zielsetzung.- . 27.2. Äquivalenz und Ähnlichkeit (Kongruenz).- . 27.3. Das Generalschema einer multiplikativen Transformation.- 27.4. Der Transport durch die Informationsklammer. Phantommatrix.- 27.5. Diskrepanz und Regeneration.- 27.6. Die Zurücknahme einer Äquivalenztransformation.- 27.7. Unitäre (orthonormierte) Transformation.- 27.8. Dyadische Transformationsmatrizen.- 27.9. Unvollständige und vollständige Reduktion eines Vektors. Der ?-Kalfaktor.- 27.10. Der Mechanismus der multiplikativen Transformation.- 27.11. Progressive Transformationen.- § 28. Äquivalenztransformation auf Diagonalmatrix.- . 28.1. Aufgabenstellung.- . 28.2. Direkte und indirekte linksseitige Äquivalenztransformation auf Diagonalmatrix.- 28.3. Die linksseitige Äquivalenztransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 28.4. Singuläre Matrix. Rangbestimmung.- . 28.5. Die Rechtstransformation auf Diagonalmatrix. Normalform.- . 28.6. Hermitesche und positiv definite Matrix.- . 28.7. Die dyadische Zerlegung von Banachiewicz und Cholesky.- 28.8. Die Normalform eines diagonalähnlichen Matrizentupels.- § 29. Ähnlichkeitstransformation auf Fastdreiecksmatrix.- . 29.1. Aufgabenstellung.- . 29.2. Der Mechanismus einer multiplikativen Ähnlichkeitstransformation.- . 29.3. Multiplikative Transformation auf Hessenberg-Form.- 29.4. Multiplikative Transformation auf Tridiagonalform.- 29.5. Multiplikative Transformation auf Kodiagonalform.- . 29.6. Multiplikative Transformation eines hermiteschen Paares auf Tridiagonalform.- 29.7. Progressive Transformation auf Kodiagonalform (Begleitmatrix).- 29.8. Progressive Transformation eines hermiteschen Paares auf Tridiagonalform.- 29.9. Der Zerfall einer Fastdreiecksmatrix.- 30. Iterative Ähnlichkeitstransformation auf Dreiecks- bzw. Diagonalform.- . 30.1. Überblick. Zielsetzung.- . 30.2. Transformation in Unterräumen. Die Elementar-transformation.- . 30.3. Das explizite Jacobi-Verfahren.- 30.4. Das halbimplizite Jacobi-Verfahren für beliebige Paare G;D.- 30.5. Das halbimplizite Jacobi-Verfahren für beliebige Paare A,B.- 30.6. Die Regeneration (Auffrischung) des Jacobi-Verfahrens. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Paare.- 30.7. Jacobi-ähnliche Transformationen. Zusammenfassung.- IX. Kapitel. Lineare Gleichungen und Kehrmatrix.- 31. Einschließung und Fehlerabschätzung. Kondition.- . 31.1. Defekt und Korrektur.- . 31.2. Einschließung mittels hermitescher Kondensation (Spektralnorm).- . 31.3. Einschließung bei diagonaldominanter Matrix.- . 31.4. Stabilisierung schlecht bestimmter Gleichungssysteme.- § 32. Endliche Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme.- . 32.1. Zielsetzung. "Endlichkeit" der Methode.- . 32.2. Ein- und zweiseitige Transformation.- . 32.3. Der Gaußsche Algorithmus in Blöcken.- 32.4. Partitionierung einer Block-Hessenberg-Matrix.- 32.5. Partitionierung einer Blocktridiagonalmatrix.- . 32.6. Vierteilung einer Bandmatrix.- 32.7. Die Äquivalenztransformation als dyadische Zerlegung. Exogene und endogene Algorithmen.- 32.8. Die Kongruenztransformation als dyadische Zerlegung. Das Verfahren von Hestenes und Stiefel.- 32.9. Mehrschrittverfahren.- . 32.10. Zusammenfassung.- § 33. Iterative und halbiterative Methoden zur Auflösung von linearen Gleichungssystemen.- . 33.1. Allgemeines. Überblick.- . 33.2. Stationäre Treppeniteration (Gauß-Seidel-ähnliche Verfahren).- 33.3. Instationäre Treppeniteration. Der Algorithmus "Siebenmeilenstiefel".- . 33.4. Korrektur und Diskrepanz. Nachiteration.- . 33.5. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Gleichungssysteme.- 33.6. Der restringierte Ritz-Ansatz.- 33.7. Das normierte Defektquadrat.- 33.8. Der zyklisch fortgesetzte Ritz-Ansatz. Minimalrelaxation.- 33.9. Über- und ünterrelaxation.- 33.10. Der vollständige Ritz-Ansatz.- 33.11. Eine generelle Kritik.- . 33.12. Der Algorithmus Rapido/Rapidissimo.- . 33.13. Nochmals Nachiteration. Abgeänderte (benachbarte, gestörte) Gleichungssysteme.- . 33.14. Zusammenfassung.- § 34. Kehrmatrix. Endliche und iterative Methoden.- . 34.1. Übersicht. Zielsetzung.- . 34.2. Auflösung des GleichungssystemsAK = I.- . 34.3. Die Eskalatormethode der sukzessiven Ränderung.- 34.4. Das Verfahren von Schulz.- 34.5. Einschließung der Elemente einer Kehrmatrix.- X. Kapitel. Die lineare Eigenwertaufgabe.- § 35. Spektralumordnung und Partitionierung.- . 35.1. Überblick. Zielsetzung.- . 35.2. Umordnung des Spektrums mit Hilfe von Matrizenfunktionen. Schiftstrategien.- 35.3. Umordnung des Spektrums mit Hilfe von Eigendyaden. Deflation.- . 35.4. Partitionierung durch unvollständige Hauptachsentransformation. Ordnungserniedrigung.- . 35.5. Elementarmatrizen und Austauschverfahren.- . 35.6. Sukzessive Auslöschung. Produktzerlegung der Modalmatrizen.- 35.7. Bereinigung und lokaler Zerfall einer Matrix.- . 35.8. Besonderheiten bei singulärer Matrix ß.- 35.9. Transformation auf obere Dreiecksmatrix.- . 35.10. Einführung von Linkseigenvektoren.- § 36. Einschließungssätze für Eigenwerte und Eigenvektoren.- . 36.1. Überblick. Wozu Einschließungssätze?.- . 36.2. Die Sätze von Gerschgorin und Heinrich. Der Kreisringsatz.- 36.3. Einschließung isolierbarer Eigenwerte bei Diagonaldominanz.- . 36.4. Quotientensätze. Der Rayleigh-Quotient.- . 36.5. Der Satz von Krylov und Bogoljubov und seine Verschärfung von Temple.- . 36.6. Der Perturbationssatz für hermitesche Paare.- . 36.7. Der Satz Acta Mechanica für hermitesche positiv definite Paare.- . 36.8. Der Satz Acta Mechanica für normale Paare.- . 36.9. Der Satz Acta Mechanica mit vorgezogener Zentraltransformation.- . 36.10. Der Determinantensatz.- 36.11. Komponentenweise Einschließung von Eigenvektoren normaler Paare.- 36.12. Einschließung bei Mammutmatrizen.- . 36.13. Zusammenfassung. Schlußbemerkung.- § 37. Determinantenalgorithmen.- . 37.1. Übersicht.- . 37.2. Die direkte Methode. Explizites und implizites Vorgehen.- 37.3. Systematisierte Suchmethoden.- . 37.4. Die Ritz-Iteration.- 37.5. Ritz-Iteration mit vorgezogener Zentraltransformation.- 37.6. Der Algorithmus Bonaventura.- . 37.7. Der Algorithmus Securitas. Gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum.- 37.8. Der Algorithmus Securitas für singuläre Paare.- 37.9. Einige Varianten zum Algorithmus Securitas.- . 37.10. Iterative Einschließung von Eigenwerten.- 37.11. Ein Nachtrag.- § 38. Extremalalgorithmen.- . 38.1. Das Prinzip. Überblick.- 38.2. Koordinatenrelaxation bei hermiteschen Paaren.- . 38.3. Defektminimierung durch Schaukeliteration.- 38.4. Weitere Extremalalgorithmen. Schlußbemerkung.- § 39. Unterraumtransformationen.- 39.1. Das Prinzip.- 39.2. Kongruenztransformationen mit Jacobi-Strategie.- 39.3. Ähnlichkeitstransformationen mit Jacobi-Strategie.- 39.4. Schlußbemerkung.- § 40. Potenzalgorithmen.- . 40.1. Die Potenziteration nach von Mises.- . 40.2. Die Potenziteration für Matrizenpaare.- . 40.3. Simultaniteration.- . 40.4. Iteration gegen Linkseigenvektoren. Verbesserter Ritz-Ansatz und Spektralumordnung.- . 40.5. Die inverse (gebrochene) Iteration von Wielandt.- 40.6. Maßnahmen zur Konvergenzbeschleunigung.- 40.7. Ritz-Ansatz oder Orthonormierung ? Ein Kompromiß.- 40.8. Simultaniteration mit n Startvektoren. Direkte Unitarisierung.- 40.9. Dreiecks- und Diagonalalgorithmen.- 40.10. Äquivalenztransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 40.11. Ähnlichkeitstransformation auf obere Dreiecksmatrix.- 40.12. Kongruenztransformation hermitescher Paare auf Diagonalmatrix.- 40.13. Transformation auf obere Blockdreiecksmatrix.- 40.14. Dreiecks- und Diagonalalgorithmen mit progressivem Schift.- 40.15. Sukzessive Ordnungserniedrigung oder gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum ?.- . 40.16. Gleichmäßige Konvergenz gegen das Spektrum durch partielle Ähnlichkeitstransformation.- 40.17. Die Transformation singulärer Matrizen auf Normalform.- . 40.18. Der WSS-Algorithmus (Wielandt-Iteration mit sequentiellem Schift).- . 40.19. Der WSS-Algorithmus für normale Paare.- . 40.20. Der Globalalgorithmus Velocitas.- 40.21. Singuläre Paare.- . Resümee zum X. Kapitel. Was will der Praktiker?.- XI. Kapitel. Die nichtlineare Eigenwertaufgabe.- §41. Die nichtlineare Eigenwertaufgabe mit einem Parameter.- . 41.1. Überblick. Zielsetzung.- 41.2. Polynommatrizen. Expansion.- 41.3. Parameterdiagonalähnliche und parameternormale Polynommatrizen.- 41.4. Die Bequemlichkeitshypothese. (Modale Dämpfung).- . 41.5. Der Algorithmus Bonaventura.- . 41.6. Die Taylor-Entwicklung des Schur-Komplements. (Der T-S-Algorithmus).- 41.7. Der T-S-Algorithmus mit höheren Ableitungen.- . 41.8. Defektminimierung.- 41.9. Parameterabhängige Transformationsmatrizen.- 41.10. Einschließungssätze.- . 41.11. Zusammenfassung und Ausblick.- § 42. Das mehrparametrige Eigenwertproblem.- . 42.1. Aufgabenstellung. Probleme und Begriffe.- 42.2. Parameterdiagonalähnliche und parameternormale Matrizen.- . 42.3. Das zweiparametrige Eigenwertproblem.- XII. Kapitel. Matrizen in der Angewandten Mathematik und Mechanik.- §43. Auflösung skalarer Gleichungen durch Expansion. Der Eigenwertalgorithmus ECP.- . 43.1. Problemstellung.- . 43.2. Lösung algebraischer Gleichungen durch Diagonalexpansion.- . 43.3. Einschließung von Nullstellen.- . 43.4. Die inverse Iteration von Wielandt.- . 43.5. Ritz-Iteration und Bonaventura.- . 43.6. Iterative Einschließung und sukzessive Aktualisierung. Globalalgorithmus.- . 43.7. Der Eigenwertalgorithmus ECP (Expansion des charakteristischen Polynoms).- . 43.8. Zur Wahl der Stützwerte.- . 43.9. Zusammenfassung.- . Resümee zu den numerischen Methoden.- § 44. Die linearisierte Mechanik von Starrkörperverbänden.- . 44.1. Die linearisierte Mechanik.- . 44.2. Der frei bewegliche Verband von starren Körpern.- . 44.3. Offene und geschlossene Schreibweise. Elimination und Kondensation.- 44.4. Bindungen und Reaktionen.- . 44.5. Die ebene Gelenkkette.- § 45. Diskretisiening und Finitisierung hybrider Strukturen.- . 45.1. Problemstellung.- . 45.2. Diskrete Modelle.- . 45.3. Der Übergang zum Kontinuum.- . 45.4. Finite Übersetzungen.- . 45.5. Hybride Systeme.- . 45.6. Finite-Elemente-Methoden (FEM).- . 45.7. Zusammenschau.- Literatur zu Teil 1 und Teil 2.- Namen- und Sachverzeichnis.
EAN: 9783540154747
ISBN: 3540154744
Untertitel: Numerische Methoden. Für Angewandte Mathematiker, Physiker und Ingenieure. 5. , überarbeitete und erweiterte Auflage. 103 Abbildungen.
Verlag: Springer-Verlag GmbH
Erscheinungsdatum: Januar 1986
Seitenanzahl: XV
Format: gebunden
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